On the structure of Leavitt path algebras and Kumjian-Pask algebras.

Abstract

Esta tesis doctoral pretende continuar y avanzar en el conocimiento de las álgebras de caminos de Leavitt. Para un grafo dirigido E, el álgebra de caminos de Leavitt L(E) es el análogo algebraico de la C*-álgebra de Cuntz-Krieger C*(E) que aparece en [Raeburn]. Por otro lado suponen una generalización del trabajo de W. Leavitt quién describió a principios de los 60 una clase de álgebras (sobre un cuerpo arbitrario) que tenían propiedades interesantes. Tales álgebras son ejemplos canónicos de anillos que no satisfacen la propiedad IBN: existen módulos libres sobre ellas que tienen bases de distinto cardinal.

Las álgebras de caminos Leavitt aparecen por vez primera en [Ara-Moreno-Pardo], [Abrams-Aranda1] y [Abrams-Aranda2]. En el primero de estos trabajos, los autores llevan a cabo el estudio del monoide V(L(E)). En particular, demuestran que existe un isomorfismo natural entre los retículos de los ideales graduados de L(E) y el retículo de los ideales de orden de V(L(E)). En [Abrams-Aranda1] y [Abrams-Aranda2] se caracterizan, respectivamente, la simplicidad y el carácter puramente infinito simple del álgebra de caminos de Leavitt L(E) en términos de propiedades que involucran tan sólo al grafo E.

Podemos decir que, aunque la investigación en las álgebras de caminos de Leavitt apenas tiene unos pocos años de vida, ha madurado rápidamente, y ha suscitado un gran interés por parte de la comunidad científica matemática. Ejemplo de ello es el elevado número de publicaciones y de autores que han contribuído o están contribuyendo a desarrollar dicha teoría.

Este trabajo cuenta con cinco capítulos además de un apartado final denominado “Futher Work”. En el Capítulo 1 comenzaremos introduciendo la noción de álgebra de caminos de Leavitt sobre un anillo R conmutativo con unidad. Podríamos decir que el Capítulo 1 es la base de la tesis, donde presentamos algunos de los resultados importantes en la materia que serán necesarios para entender los sucesivos capítulos.

En el Capítulo 2 identificaremos el corazón conmutativo del álgebra de caminos de Leavitt, el cual es una subálgebra conmutativa maximal del álgebra de caminos de Leavitt. Por ir más lejos, seremos capaces de caracterizar la inyectividad de representaciones que dan una generalización del teorema de unicidad de Cuntz-Krieger. Trasladémonos ahora al Capítulo 3: aquí estudiaremos los análogos a las álgebras de caminos de Leavitt asociados a grafos de rango superior; estas álgebras se denominan álgebras de Kumjian-Pask. Concretamente extenderemos los resultados dados en el Capítulo 2 a álgebras de Kumjian-Pask.

Por último los Capítulos 4 y 5 están dedicados al estudio de las álgebras de caminos de Leavitt (sobre un cuerpo K) de unos grafos específicos: en concreto se trata del grafo generalizado de Cayley de la forma C_n^j donde n es un natural y 0<=j<=n-1 correspondiente al grupo cíclico Z/nZ con respecto al subconjunto {1,j}.

Referencias:

[Abrams-Aranda1] G. Abrams, G. Aranda Pino, The Leavitt path algebra of a graph, J. Algebra 293 (2005), 319-334.

[Abrams-Aranda2] G. Abrams, G. Aranda Pino, Purely infinite simple Leavitt path algebras, J. Pure Appl. Algebra 207 (3) (2006), 553--563.

[Ara-Moreno-Pardo] ] P. Ara, M.A. Moreno, E. Pardo, Nonstable K-theory for graph algebras, Algebra Rep. Th. 10 (2) (2007), 157-178.

[Raeburn] I. Raeburn, Graph algebras, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 103. Amer. Math. Soc., Providence, RI 2005.