Optimalidad en la conjetura débil de Muckenhoupt-Wheeden

Abstract

En el año 2009 conjuntamente con A. Lerner y C. P\'erez probamos que la dependencia en relación a la constante $[w]_A_1$ de un peso $w$ en el tipo débil (1,1) de la cualquier operador de Calderón-Zygmund se puede controlar por $ [w]_A_1 x log([w]_A_1+e)$. Que la dependencia fuese lineal se conocía como conjetura débil de Muckenhoupt y Wheeden. Posteriormente, F. Nazarov, A. Reznikov, V. Vasyunin y A. Volberg probaron que no es posible dependencia lineal en general, de hecho probaron que la dependencia debía ser al menos $ [w]_A_1 x log^{1/3}([w]_A_1+e)$ para la Transformada Martingala y conjeturaron que nuestra estimación debería ser óptima. Finalmente en un trabajo reciente conjuntamente con A. Lerner y F. Nazarov probamos la optimalidad de la estimación por $ [w]_A_1 x log([w]_A_1+e)$ para la Transformada de Hilbert. En esta charla daremos una idea general de como obtener este resultado.