High order well balanced numerical methods for a multilayer shallow-water model with variable density

Abstract

En esta tesis se desarrollan algunas contribuciones novedosas en el marco de los modelos de aguas someras multicapas y en esquemas numéricos de alto orden bien equilibrados. En primer lugar, se deriva un modelo multicapa de aguas someras con densidad variable para el que se escoge una ecuación de estado particular de tal forma que el modelo sea capaz de resolver cambios en densidad relativa. El modelo derivado presenta una serie de soluciones estacionarias que engloban tanto soluciones estacionarias de tipo agua en reposo como soluciones estacionarias no triviales correspondientes a soluciones estratificadas verticalmente en densidad.

A continuación, se realiza un estudio de las técnicas existentes para el método de los volúmenes finitos basados en métodos camino conservativos para la resolución del problema de Riemann. Además, se revisan los métodos de tipo Galerkin discontinuo (DG) y se incluye una aportación novedosa de esta tesis para el diseño de esquemas de tipo DG bien equilibrados para sistemas generales de leyes de balance. Dicho método es compatible con varias técnicas de discretización en tiempo, incluidas Runge-Kutta y ADER.

El siguiente aporte novedoso involucra la discretización numérica mediante el método de volúmenes finitos y el método de DG del modelo de aguas someras con densidad variable. El esquema de volúmenes finitos es de segundo orden en espacio y tiempo mientras que el esquema DG consigue alcanzar un orden arbitrario en espacio tiempo en un solo paso gracias a la combinación con la técnica ADER. Ambos esquemas son capaces de preservar soluciones estacionarias no triviales e incluso recuperar soluciones estacionarias no triviales tras una perturbación.

Finalmente, la tesis incluye numerosos experimentos numéricos para demostrar las capacidades del modelo y el esquema, incluido una comparación con resultados experimentales de laboratorio, donde se obtienen excelentes resultados.