Multidimensional approximate Riemann solvers for hyperbolic systems

Abstract

Esta tesis doctoral se centra en el desarrollo de resolvedores de Riemann multidimensionales incompletos eficientes para sistemas hiperbólicos generales, aplicables tanto en el caso conservativo como en el no conservativo. Dichos resolvedores se construyen a partir de un modelo de cuatro ondas, dadas por las velocidades de propagación maximales en cada vértice de una malla estructurada. En particular, se construye una versión simple de un esquema HLL 2D bien equilibrado, la cual se toma como base para diseñar una clase más general de resolvedores de Riemann incompletos 2D, los denominados esquemas AVM (Approximate Viscosity Matrix). La gran ventaja de los esquemas AVM es la posibilidad de controlar la cantidad de difusión numérica considerada para cada sistema hiperbólico, con un coste computacional razonable. Se demuestra que los esquemas numéricos de primer orden resultantes son consistentes con el sistema hiperbólico considerado, y linealmente estables bajo una condición CFL de hasta la unidad. Tales esquemas pueden ser usados como base para construir esquemas de alto orden. En esta tesis, se construye un esquema de segundo orden mediante el método predictor-corrector MUSCL-Hancock. Para analizar las propiedades de los esquemas propuestos, se han considerado experimentos numéricos en magnetohidrodinámica (MHD) y sistemas de aguas someras (SWE) de una y dos capas. En el caso de MHD, la condición de divergencia nula se ha impuesto mediante una nueva técnica basada en la escritura no conservativa de las ecuaciones. Por otro lado, para SWE, la presencia de la topografía del fondo y de los términos de acoplamiento entre capas representan una dificultad adicional, que se resuelve dentro del marco de los esquemas camino-conservativos. Por último, se ha desarrollado un algoritmo simple y eficiente para la implementación de los esquemas en tarjetas gráficas (GPU), con el objetivo de aumentar la eficiencia computacional.