Evolution algebras - Cabrera-Casado, Yolanda (My University, 2017)
Esta tesis tiene por objeto el estudio de las llamadas álgebras de evolución, las cuales son una nueva clase de álgebras genéticas cuyo origen está en la formulación de la genética que no sigue las leyes de Mendel. Éstas fueron introducidas en 2008 por J.P. Tian en su libro “Evolution algebras and their applications”. Inspirada por las relaciones de las álgebras de evolución con diferentes áreas de las Matemáticas, tales como la teoría de grafos, la teoría de cuerdas, la probabilidad y la aplicación de las mismas en otros campos como las cádenas de Markov, la genética, etc., en los últimos años ha habido un aumento de las publicaciones relacionadas con este tipo de álgebras genéticas. A continuación se detalla el contenido de cada uno de los capítulos que forman esta contribución. En el Capítulo 1, se parte de las definiciones básicas de las estructuras algebraicas objeto de estudio, y que jugarán un importante papel en el resto de la tesis. Propiedades tales como la conmutatividad, la asociatividad, la flexibilidad, etc., son estudiadas en las primeras secciones. De hecho se proporciona una condición para la cual las álgebras de evolución son de potencia asociativa. En las secciones posteriores el estudio se focaliza en expresar el producto del álgebra en términos de su matriz de estructura y se dan una serie de expresiones donde se relacionan las matrices de estructura relativas a distintas bases. Esto se hace para el caso de un álgebra arbitraria y en particular para el caso de las álgebras de evolución. Dicha fórmula resultará especialmente útil para la clasificación que se hará posteriormente. En este mismo capítulo se definen subestructuras de evolución y se demuestran las distintas conexiones entre los conceptos definidos. Destacar la caracterización que se hace de las álgebras de evolución no degeneradas y la relación que se establece entre grafos y este tipo de álgebras no asociativas. Este hecho será de gran ayuda cuando se estudie la reducibilidad del álgebra de evolución en el capítulo 2. En el Capítulo 2, se empieza utilizando diferentes técnicas para describir los ideales generados por un elemento. Una importante consecuencia de los resultados obtenidos es que las álgebras de evolución simples tienen dimensión a lo sumo numerable. En los siguientes apartados se proporciona una caracterización de las álgebras de evolución simples. Para conseguir el propósito de este capítulo, el estudio de la descomposición de las álgebras de evolución de dimensión arbitraria, se introduce la noción de reducibilidad y se caracteriza en términos del grafo asociado. En la última sección se presenta una descomposición para cualquier álgebra de evolución no degenerada en términos de ideales de evolución irreducibles. Tal descomposición es lo que se llama la descomposición óptima en suma directa. Por último, se describe un método para hallar esta descomposición cuando el álgebra de evolución es de dimensión finita. Tanto el Capítulo 3 como el Capítulo 4 están dedicados a la clasificación de las álgebras de evolución de dimensión 2 y 3 respectivamente. Aunque la clasificación para la dimensión 2 ya estaba realizada sobre el cuerpo de los números complejos, en este manuscrito se ha realizado para cualquier cuerpo que verifique que los polinomios de grado dos y tres tengan una raíz. La clasificación en ambos casos se hace distinguiendo la dimensión del álgebra cuadrada. Por último se presenta todo un abanico de posibilidades para continuar con este estudio detallado en los trabajos futuros. Cabe señalar el seguir profundizando en la aplicación de los resultados obtenidos en el campo de la biología y en concreto de la genética. Se termina proporcionando la bibliografía utilizada en la que se encuentra el artículo que avala dicha tesis.
Esta es la presentación que Yolanda Cabrera Casado hizo el día de la defensa de su tesis doctoral el 16 de diciembre de 2016.
Keywords: Algebras genéticas; Evolution algebra