Un enfoque lógico a los sistemas de implicaciones y las bases directas

Abstract

El tratamiento de la información y el conocimiento es uno de los muchos campos en los que confluyen los métodos matemáticos y computacionales. Una de las áreas donde encontramos de forma clara esta concurrencia es en el Análisis de Conceptos Formales, donde los métodos de almacenamiento, descubrimiento, análisis y manipulación del conocimiento descansan sobre las sólidas bases del Álgebra y de la Lógica.

En el Análisis de Conceptos Formales la información se representa en tablas binarias en las que se relacionan objetos con sus atributos. Dichas tablas, denominadas contextos formales, son el repositorio de datos del que se extrae el conocimiento mediante la utilización de técnicas algebraicas. Este conocimiento se puede representar de diversas formas, entre ellas se encuentran los conjuntos de implicaciones.

Una de las principales ventajas de usar sistemas de implicaciones para representar el conocimiento es que admiten un tratamiento sintáctico por medio de la lógica, segundo pilar matemático en el que se sustenta la tesis.

La mejor alternativa de cara al razonamiento automático viene de mano de la Lógica de Simplificación. El conjunto de axiomas y reglas de inferencias de esta lógica lleva directamente a un conjunto de equivalencias que permiten eliminar redundancias en los sistemas de implicaciones.

La extracción de sistemas de implicaciones, y su posterior tratamiento y manipulación, constituyen un tema de actualidad en la comunidad del Análisis de Conceptos Formales. Los conjuntos de implicaciones extraídos pueden contener gran cantidad de información redundante, por lo que el estudio de propiedades que permitan caracterizar conjuntos equivalentes de implicaciones con menor redundancia o sin ella, se erige como uno de los retos más importantes. Sin embargo, como sucede en otras áreas, en algunas ocasiones puede ser interesante almacenar cierta clase de información redundante en función del uso posterior que se le pretenda dar.

Sobresale pues, entre los temas de interés del área, el problema de la búsqueda de representaciones canónicas de sistemas de implicaciones que, satisfaciendo ciertas propiedades, permitan compilar todo el conocimiento extraído del contexto formal. Estas representaciones canónicas para los sistemas de implicaciones suelen recibir el nombre de `bases'.

En esta tesis ponemos nuestra atención en un grupo de bases conocidas como `bases directas', que son aquellas que permiten calcular el cierre de cualquier conjunto en un único recorrido del sistema de implicaciones.

Los objetivos generales de la tesis son dos: - El estudio de las bases directas en Análisis de Conceptos Formales clásico con la finalidad de obtener algoritmos eficientes para calcular dichas bases. Para ello analizamos las definiciones que aparecen en la bibliografía (base directa-optimal y D-base) y proponemos una alternativa (base dicótoma directa), así como métodos para su cálculo. - Establecer las bases para la extensión de estos resultados al Análisis de Conceptos Triádicos, en particular, introducir una lógica que permita el razonamiento automático sobre implicaciones en esta extensión. Se presentan dos lógicas: CAIL y CAISL. La primera permite caracterizar la semántica de las implicaciones y la segunda el razonamiento automático.