Demostraremos que toda esfera analítica bidimensional $S$
inmersa en $S^3$, con curvaturas principales $k_1,k_2$ cumpliendo que
$k_1 k_2\leq 0$ debe ser totalmente umbilical. Esto mejora algunos
resultados bien conocidos de Alexandrov o Almgren, entre otros. Para
ello, probaremos un resultado en grafos analíticos de $R^3$ de curvatura
no positiva, que muestra que, en esta situación, la teoría del índice se
puede utilizar incluso cuando el conjunto de puntos umbilicales no es
discreto. Esto contrasta marcadamente con la existencia de esferas
diferenciables en $S^3$ no totalmente umbilicales que satisfacen $k_1
k_2\leq 0$. Éste es un trabajo conjunto con Pablo Mira y Marcos P. Tassi.
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