Three-layer Factorized Difference Schemes and Parallel Algorithms for Solving The System of Linear Parabolic Equations with Mixed Derivatives and Variable Coefficients

Abstract

El texto aborda el problema no estacionario de un sistema de ecuaciones parabólicas con condiciones de frontera de primer orden: 𝐵 ∂𝑢/∂𝑡 = 𝐿𝑢 + 𝑓 donde 𝐵 es una matriz positiva definida, simétrica y acotada, 𝐿 es un operador elíptico fuerte con coeficientes variables que incluye derivadas mixtas, 𝑢 y 𝑓 son vectores 𝑛-dimensionales. Se desarrolla un esquema factorizado de tres niveles que no requiere la inversión de la matriz 𝐵, ofreciendo algoritmos eficientes para sistemas de cómputo multiprocesador. Además, se demuestra la convergencia del esquema de diferencias al problema inicial, obteniendo estimaciones.

Muchas aplicaciones científicas y técnicas dan lugar a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, como en la distribución del calor, procesos de transporte, difusión, aguas subterráneas, estructuras biológicas disipativas, y distribución de energía. La resolución de estos problemas es un problema computacional que requiere muchos recursos, por lo que se proponen algoritmos paralelos para reducir el tiempo de cálculo. Y existe menos literatura dedicada a su investigación en computación paralela que en computación secuencial.

El trabajo se centra en: 1.- Desarrollar un esquema económico con mínimos requisitos para el operador espacial, exigiendo solo que sea elíptico fuerte. 2.- Garantizar estabilidad absoluta para cualquier paso temporal (𝜏 < ∞) y espacial (ℎ < 𝛼). 3.- Probar la convergencia del esquema de diferencias con menor suavidad de una solución del sistema inicial de ecuaciones diferenciales, evitando estimaciones de aproximación local. 5.- Implementar un algoritmo de barrido doble unidimensional para resolver las ecuaciones obtenidas. 6.- Diseñar un algoritmo para computación paralela.