Spin(7) structures, spinors and nilmanifolds

Abstract

Esta tesis aborda varios problemas en el área de las estructuras geométricas, y se divide en dos partes. En la primera, describimos las estructuras Spin(7) desde el punto de vista de la teoría de espinores, en la segunda desarrollamos técnicas de resolución de orbifolds simplécticos y con estructura G_2 cerrada.

La presencia de una estructura Spin(7) en una variedad Riemanniana orientada de dimensión 8 equivale a la existencia de un espinor positivo nunca nulo. En el capítulo 1 de la tesis establecemos las bases del formalismo espinorial para las estructuras Spin(7), reformulando su clasificación en términos de ecuaciones en derivadas parciales sobre el espinor. Asimismo, introducimos el concepto de distribución G_2 en variedades con estructura Spin(7). Como aplicación determinamos las álgebras de Lie cuasi-abelianas nilpotentes que tienen estructuras Spin(7) de tipo balanced. En el capítulo 2 aprovechamos el enfoque espinorial para construir estructuras Spin(7) de tipo balanced en nilvariedades producto N x T, donde N es una nilvariedad de dimensión 6 y T es un 2-toro. Nuestra búsqueda nos lleva a definir y estudiar las estructuras espín armónicas en dimensiones 5, 6, 7 y 8.

La resolución de orbifolds con estructura simpléctica o de tipo G_2 cerrada nos permite obtener variedades con dichas estructuras geométricas. Algunas propiedades topológicas de la resolución, tales como el grupo fundamental o los grupos de cohomología, se deducen de las propiedades del orbifold y del lugar singular. En el capítulo 3 elaboramos un método de resolución de orbifolds simplécticos compactos de dimensión 4. En el capítulo 4 construimos una variedad compacta no formal con b_1=1 dotada de una estructura G_2 cerrada y probamos que esta no admite ninguna métrica con holonomía contenida en G_2. Asimismo desarrollamos un método de resolución de orbifolds cociente M/Z_2, donde M es una variedad G_2 cerrada.