Numerical analysis of some nonlinear hyperbolic systems of Partial Differential Equations arising from Fluid Mechanics

Abstract

En esta tesis se abordan cuatro problemas diferentes relacionados con el análisis numérico de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicos no lineales. Estos problemas están relacionados con la resolución numérica de modelos matemáticos de la mecánica de fluidos en aplicaciones relacionadas con los flujos de aguas someras y la dinámica de gases en el contexto de la mecánica clásica o relativista. El primer problema que se aborda es el estudio del problema de Riemann para las ecuaciones de aguas someras sobre un fondo con forma de escalón cuando solo hay agua a un lado del escalón. En el estudio de este problema surgen dos importantes dificultades: los productos no conservativos y los casos resonantes. Complementaremos el estudio teórico con ensayos numéricos donde compararemos diferentes esquemas. La siguiente cuestión que se aborda es la implementación eficiente de métodos numéricos basados en resolvedores de Riemann aproximados y, en particular, del método de Roe. Esta nueva implementación se basa en la relación entre estos métodos y los Polynomial Viscosity Matrix (PVM) basados en la elección de un polinomio que interpola la función valor absoluto, así como en la forma de Newton de dicho polinomio. El siguiente objetivo es hacer un estudio sistemático del comportamiento asintótico de las soluciones de las ecuaciones de Burgers y Euler relativistas basados en la métrica de Schwarzschild. En estos sistemas las soluciones estacionarias y sus perturbaciones juegan un papel fundamental en la comprensión de dicho comportamiento, con lo que será imprescindible el desarrollo de métodos well-balanced. Finalmente se extiende a segundo orden una técnica basada en reconstrucciones discontinuas en las celdas que permite controlar la viscosidad numérica que afecta a la posición y amplitud de las ondas de choque. Usando el formalismo de los métodos path-conservative asentaremos las bases para su extensión a órdenes mayores.