Algunos teoremas de estructura

Abstract

El objetivo de este trabajo es probar dos importantes teoremas de estructura de anillos: el Teorema de Artin-Wedderburn y el Teorema de Densidad de Jacobson. En el primer capítulo sentaremos las bases sobre las que trabajaremos. En este, estudiaremos los conceptos de anillo y módulo y demostraremos resultados que serán de gran relevancia en los siguientes capítulos. El segundo capítulo es el destinado a probar el Teorema de Artin-Wedderburn, que clasifica los anillos semisimples. Comenzaremos el capítulo trabajando sobre los anillos simples y semisimples. Tras ello, introduciremos la condición de cadena descendente y la condición de cadena ascendente y hablaremos de módulos y anillos artinianos y noetherianos. También veremos las nociones de anillos primos y semiprimos. Una vez realizado este desarrollo teórico, procederemos a demostrar el Teorema de Artin-Wedderburn. Primero veremos su versi´on para Anillos Simples, que utilizaremos para demostrar el Teorema de Artin-Wedderburn general. El tercer capítulo trata sobre Teorema de Densidad de Jacobson, que clasifica los anillos primitivos. Primero veremos la noción de anillos primitivos por la derecha y por la izquierda. En la segunda subsección demostraremos el Teorema de Densidad para M´odulos Semisimples y, haciendo uso de dicho resultado, probaremos el Teorema de Densidad de Jacobson para anillos primitivos por la derecha. Trabajando con módulos a izquierda en vez de módulos a derecha de obtiene el Teorema de Densidad de Jacobson para anillos primitivos por la izquierda.