Estabilidad en sistemas neuronales realimentados.Aplicación al control

Abstract

Esta tesis presenta un estudio de las redes neuronales de Hopfield, en cuanto a su capacidad para resolver problemas de optimización. El análisis teórico de las características de estos sistemas se abordan con rigor matemático, al tiempo que se obienen conclusiones de orden práctico sobre su eficiencia como método computacional de optimización. Los problemas que son objeto de estudio provienen de dos ámbitos distintos: la optimización combinatorial y la identificación de sistemas dinámicos. Con respecto al primero, si bien la aplicación de las redes de Hopfield a optimización combinatoria no es nueva, existían aún lagunas en la fundamentación de la metodología de optimización con redes de Hopfield, habiéndose justificado un gran número de resultados con argumentos exclusivamente empíricos. Por tanto, la tesis incluye el estudio teórico de las características de estos sistemas, de forma que las aplicaciones posteriores estén fundadas sobre bases sólidas. Este estudio comienza con una descripción, en base a trabajos previos, de la metodología de optimización con redes de Hopfield, distinguiendo las diversas formulaciones que de este paradigma se han propuesto, así como las limitaciones de cada una, determinando que la formulación continua de Abe puede aplicarse directamente a optimización combinatoria, gracias a la forma multilineal de su función de Lyapunov. Por tanto, se adopta la formulación de Abe como objeto de investigación en el resto de la tesis, dividiendo su examen en dos partes: análisis dinámico del modelo continuo y estudio de la discretización. En el caso del modelo continuo, se demuestra que los puntos fijos interiores, que son soluciones no factibles del problema, son inestables, siempre que sean hiperbólicos. Para los puntos fijos interiores no hiperbólicos, también se demuestra que son inestables en el caso particular de redes de orden dos con tres neuronas, conjeturando su inestabilidad en el caso general. Las aportaciones presentadas, junto con la ya conocida de poseer función de Lyapunov, garantizan la capacidad de las redes de Hopfield continuas para resolver problemas de optimización combinatorial, justificando el estudio de su discretización, con objeto de realizar una implementación en ordenador. El análisis del proceso de discretización de la red continua de Hopfield comienza con la formulación explícita del modelo discreto como la iteración de una única función, lo que permite interpretar el modelo, bien como un método numérico no estándar, bien como un sistema dinámico discreto. De esta forma, es posible aplicar las técnicas conocidas del análisis numérico y la teoría de sistemas dinámicos. Se demuestra que la red discretizada los mismos puntos fijos, así como el carácter estable o inestable de tales puntos. Sin embargo, con determinadas condiciones, la red discretizada puede poseer soluciones periódicas, por lo que no puede garantizarse, en general, la existencia de función de Lyapunov, lo que penaliza severamente su capacidad de optimización. Con respecto al problema de la identificación de sistemas dinámicos, se propone un novedoso método de estimación on-line de parámetros, basado en la metodología de optimización con redes de Hopfield continuas. Se demuestra que, en el caso de parámetros constantes, la estimación proporcionada converge al valor real de los parámetros, con la condición de excitación persistente, mientras que, cuando los parámetros varían de forma continua, la estimación converge a un entorno del valor del parámetro. El proceso de demostración de los resultados teóricos proporciona indicaciones sobre cómo mejorar la eficiencia práctica del estimador. Se presentan simulaciones de diversos sistemas robóticos y epidemiológicos, confirmando los hallazgos teóricos. Se observa que el método propuesto es especialmente adecuado para la identificación de sistemas mecánicos, mientras que, en el caso del modelo epidemiológico, se obtienen resultados satisfactorios si el número de parámetros a estimar es reducido. Se propone una extensión del método de estimación con redes de Hopfield, mediante redes de alto orden, que permite tratar el caso de sistemas no linealmente parametrizados, para el que existen pocos métodos disponibles.